【求根公式解一元二次方程】在数学中，一元二次方程是形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。这类方程的求解方法有很多，但最通用、最有效的方法是使用求根公式（也称为求根公式法或求根公式法）。通过该公式，我们可以直接求出一元二次方程的两个实数根或复数根。
一、求根公式的推导
对于一般形式的一元二次方程：
$$
ax^2 + bx + c = 0
$$
我们可以通过配方法将其转化为标准形式，并得到求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中：
- $ b^2 - 4ac $ 称为判别式，记作 $ D $。
- 当 $ D > 0 $ 时，方程有两个不相等的实数根；
- 当 $ D = 0 $ 时，方程有两个相等的实数根（即重根）；
- 当 $ D < 0 $ 时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
二、使用求根公式解题的步骤
1. 确定系数：从方程中识别出 $ a $、$ b $、$ c $ 的值。
2. 计算判别式：计算 $ D = b^2 - 4ac $。
3. 判断根的类型：根据判别式的正负判断根的性质。
4. 代入公式：将 $ a $、$ b $、$ c $ 和判别式代入求根公式中，计算出两个根。
三、示例与对比
| 方程 | 系数 | 判别式 $ D $ | 根的情况 | 根的表达式 |
| $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ | $ a=1, b=-5, c=6 $ | $ (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 $ | 两个不等实根 | $ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} $ → $ x_1 = 3, x_2 = 2 $ |
| $ 2x^2 + 4x + 2 = 0 $ | $ a=2, b=4, c=2 $ | $ 4^2 - 4(2)(2) = 16 - 16 = 0 $ | 一个实根（重根） | $ x = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{4} = \frac{-4}{4} = -1 $ |
| $ x^2 + 2x + 5 = 0 $ | $ a=1, b=2, c=5 $ | $ 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 $ | 两个共轭复数根 | $ x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} $ → $ x_1 = -1 + 2i, x_2 = -1 - 2i $ |
四、总结
使用求根公式是解决一元二次方程的一种高效且系统的方法，尤其适用于无法因式分解或难以用配方法的复杂方程。通过了解判别式的含义，可以提前预知根的类型，从而更有效地进行后续计算和分析。
掌握这一方法不仅能提高解题效率，还能加深对二次函数图像和性质的理解，是初中到高中阶段数学学习的重要基础内容。
