【偏导数基本公式】在多元函数的微积分中，偏导数是一个重要的概念，用于描述函数在某一变量方向上的变化率。对于一个具有多个自变量的函数，我们可以分别对每一个变量求导，从而得到相应的偏导数。以下是对偏导数基本公式的总结，并通过表格形式进行展示。
一、偏导数的定义
设函数 $ f(x, y) $ 是一个二元函数，若在点 $ (x_0, y_0) $ 处，当 $ y $ 固定时，$ x $ 变化时函数的变化率称为关于 $ x $ 的偏导数，记作 $ \frac{\partial f}{\partial x} $ 或 $ f_x $。同理，当 $ x $ 固定时，$ y $ 变化时的变化率称为关于 $ y $ 的偏导数，记作 $ \frac{\partial f}{\partial y} $ 或 $ f_y $。
二、常见函数的偏导数公式
| 函数形式 | 关于 $ x $ 的偏导数 | 关于 $ y $ 的偏导数 |
| $ f(x, y) = c $（常数） | 0 | 0 |
| $ f(x, y) = x^n $ | $ n x^{n-1} $ | 0 |
| $ f(x, y) = y^m $ | 0 | $ m y^{m-1} $ |
| $ f(x, y) = x + y $ | 1 | 1 |
| $ f(x, y) = xy $ | $ y $ | $ x $ |
| $ f(x, y) = \sin x $ | $ \cos x $ | 0 |
| $ f(x, y) = \cos y $ | 0 | $ -\sin y $ |
| $ f(x, y) = e^x $ | $ e^x $ | 0 |
| $ f(x, y) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | 0 |
| $ f(x, y) = \sqrt{x} $ | $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ | 0 |
三、偏导数的运算法则
1. 和差法则：
$$
\frac{\partial}{\partial x}(f \pm g) = \frac{\partial f}{\partial x} \pm \frac{\partial g}{\partial x}
$$
2. 乘积法则：
$$
\frac{\partial}{\partial x}(fg) = f \frac{\partial g}{\partial x} + g \frac{\partial f}{\partial x}
$$
3. 商法则：
$$
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g \frac{\partial f}{\partial x} - f \frac{\partial g}{\partial x}}{g^2}
$$
4. 链式法则：
若 $ z = f(u, v) $，而 $ u = u(x, y) $，$ v = v(x, y) $，则：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}
$$
四、高阶偏导数
除了对单个变量求导外，还可以对偏导数再次求导，得到高阶偏导数。例如：
- 二阶偏导数：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}
$$
如果函数连续可微，则混合偏导数相等，即：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}
$$
五、总结
偏导数是研究多变量函数局部变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。掌握常见的偏导数公式及运算法则是学习多元微积分的基础。通过表格形式可以更清晰地理解不同函数的偏导数表达方式，便于记忆与应用。
如需进一步了解偏导数在实际问题中的应用，可参考相关教材或课程内容。
