【分式怎么求导】在微积分的学习中，分式的求导是一个常见的问题。分式函数通常形式为 $ \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 是关于 $ x $ 的函数。对于这类函数的求导，我们通常使用“商数法则”（Quotient Rule）来解决。
一、分式求导的基本方法
商数法则是求分式函数导数的核心公式，其表达式如下：
$$
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
其中：
- $ u $ 是分子函数，
- $ v $ 是分母函数，
- $ u' $ 是分子的导数，
- $ v' $ 是分母的导数。
二、分式求导步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定分子函数 $ u(x) $ 和分母函数 $ v(x) $ |
| 2 | 分别对 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 求导，得到 $ u'(x) $ 和 $ v'(x) $ |
| 3 | 将 $ u'v $ 和 $ uv' $ 相减，得到分子部分 |
| 4 | 将分母部分平方，即 $ v^2 $ |
| 5 | 将结果写成分数形式：$ \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
三、示例分析
例题：求函数 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3} $ 的导数。
解法步骤：
1. 分子 $ u(x) = x^2 + 1 $，分母 $ v(x) = x - 3 $
2. 求导得：
- $ u'(x) = 2x $
- $ v'(x) = 1 $
3. 代入公式：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 3)^2}
$$
4. 化简分子：
$$
2x(x - 3) - (x^2 + 1) = 2x^2 - 6x - x^2 - 1 = x^2 - 6x - 1
$$
5. 最终结果：
$$
f'(x) = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2}
$$
四、注意事项
- 在使用商数法则时，注意分母不能为零；
- 若分母是常数，则可以直接使用基本导数规则；
- 对于复杂的分式，可先进行化简再求导，以提高计算效率；
- 如果分子或分母本身是复合函数，还需结合链式法则进行求导。
五、总结表格
| 内容 | 说明 |
| 求导方法 | 商数法则：$ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
| 基本步骤 | 1. 分子分母分离；2. 求各自导数；3. 代入公式；4. 化简结果 |
| 典型例子 | $ \frac{x^2 + 1}{x - 3} $ 的导数为 $ \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2} $ |
| 注意事项 | 分母不为零；复杂分式可先化简；必要时使用链式法则 |
通过以上内容，我们可以清晰地掌握分式函数的求导方法，并能灵活应用于各种数学问题中。
