【等比数列和等差数列公式】在数学中，数列是一种按一定顺序排列的数的集合。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型。它们在数学、物理、经济等领域有着广泛的应用。以下是对这两种数列的基本公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、等差数列
等差数列是指每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为“公差”，通常用 $ d $ 表示。
基本公式：
- 通项公式：
$ a_n = a_1 + (n - 1)d $
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是第 $ n $ 项的位置。
- 求和公式：
$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $
或
$ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $
- 性质：
等差数列的任意两项之差等于公差的整数倍。
二、等比数列
等比数列是指每一项与前一项的比是一个常数的数列。这个常数称为“公比”，通常用 $ r $ 表示。
基本公式：
- 通项公式：
$ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是第 $ n $ 项的位置。
- 求和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $
或
$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $
- 性质：
等比数列的任意两项之比等于公比的整数次幂。
三、对比总结（表格）
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为常数 | 每一项与前一项的比为常数 |
| 公差 $ d $ | $ a_{n+1} - a_n = d $ | $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = r $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ |
| 特点 | 差值恒定 | 比值恒定 |
| 应用 | 线性增长模型 | 指数增长或衰减模型 |
四、小结
等差数列和等比数列是数列中的两个重要类型，它们分别代表了线性变化和指数变化的规律。掌握它们的通项公式和求和公式，有助于解决实际问题，如计算利息、预测增长趋势等。通过对比学习，可以更深入理解数列的本质及其应用价值。
