【lim极限函数公式总结】在数学分析中，极限（limit）是研究函数变化趋势的重要工具。掌握常见的极限公式对于学习微积分、高等数学以及相关应用领域具有重要意义。以下是对常见极限函数公式的总结，结合文字说明与表格形式，帮助读者系统理解与记忆。
一、基本极限公式
1. 常数极限
当 $ x \to a $ 时，若 $ f(x) = C $（C为常数），则
$$
\lim_{x \to a} f(x) = C
$$
2. 多项式极限
若 $ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 $，则
$$
\lim_{x \to a} f(x) = a_n a^n + a_{n-1} a^{n-1} + \cdots + a_0
$$
3. 有理函数极限
对于 $ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $，当 $ x \to a $ 且 $ Q(a) \neq 0 $ 时，
$$
\lim_{x \to a} f(x) = \frac{P(a)}{Q(a)}
$$
4. 无穷小量与无穷大量
- 若 $ \lim_{x \to a} f(x) = 0 $，$ \lim_{x \to a} g(x) = \infty $，则
$$
\lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x) = 0 \cdot \infty \quad (\text{不定型})
$$
- 若 $ \lim_{x \to a} f(x) = \infty $，$ \lim_{x \to a} g(x) = \infty $，则
$$
\lim_{x \to a} f(x) + g(x) = \infty
$$
二、重要极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 常见三角函数极限 |
| 2 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数极限 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | 对数函数极限 |
| 4 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 三角函数极限 |
| 5 | $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^k - 1}{x} = k$ | 幂函数极限 |
| 6 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 数学常数e的定义 |
| 7 | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ | 三角函数极限 |
| 8 | $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$ | 反三角函数极限 |
三、极限运算法则
1. 加法法则
$$
\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)
$$
2. 乘法法则
$$
\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)
$$
3. 商法则
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad (\text{当} \lim_{x \to a} g(x) \neq 0)
$$
4. 复合函数极限
若 $ \lim_{x \to a} g(x) = b $，且 $ \lim_{y \to b} f(y) = L $，则
$$
\lim_{x \to a} f(g(x)) = L
$$
四、未定型极限处理方法
| 未定型 | 处理方法 |
| $ \frac{0}{0} $ | 使用洛必达法则、因式分解、泰勒展开等 |
| $ \frac{\infty}{\infty} $ | 同上，或提取最高次项 |
| $ 0 \cdot \infty $ | 转化为 $ \frac{0}{0} $ 或 $ \frac{\infty}{\infty} $ |
| $ \infty - \infty $ | 通分或利用对数变换 |
| $ 1^\infty $ | 利用 $ e^{\lim (f(x)-1)g(x)} $ 形式 |
| $ 0^0 $, $ \infty^0 $ | 需具体分析，通常转化为指数形式 |
五、总结
极限是数学分析的核心概念之一，掌握其基本公式和运算规则对于理解和应用微积分至关重要。通过上述总结，可以系统地了解常见的极限表达式及其适用条件，从而在实际问题中灵活运用。
附：常用极限公式速查表
| 极限表达式 | 极限值 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | 1 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ | 1 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$ | 1 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ | $e$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ | 1 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}$ | 1 |
如需进一步探讨极限的计算技巧或实际应用案例，可继续深入学习微积分相关内容。
